Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và f ( x ) ≠ 0 ∀ x ∈ [ 4 ; 8 ] Biết rằng
∫ 4 8 [ f ' ( x ) ] 2 f ( x ) 4 d x = 1 và f(4) = 1/4; f(8) = 1/2; tính F(6)
Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4 ; 8 và f x ≠ 0 ∀ x ∈ 4 ; 8 . Biết rằng ∫ 4 8 f ' x 2 f x 4 d x = 1 và f 4 = 1 4 , f 8 = 1 2 . Tính f 6 .
A. 5 8 .
B. 2 3 .
C. 3 8 .
D. 1 3 .
Đáp án D.
Ta có:
∫ 4 8 f ' x f x 2 d x = ∫ 4 8 f x − 2 d f x = f x − 1 − 1 4 8 = − 1 f 8 + 1 f 4 = − 2 + 4 = 2.
Gọi k là 1 hằng số thực. Xét
∫ 4 8 f ' x f 2 x + k 2 d x = ∫ 4 8 f ' x 2 f x 4 d x + 2 k ∫ 4 8 f ' x f 2 x d x + k 2 ∫ 4 8 d x = 1 + 2 k . k + 4 k 2 = 2 k + 1 2 .
Chọn k = − 1 2 , ta có ∫ 4 8 f ' x f 2 x − 1 2 2 d x = 0 , mà f ' x f 2 x − 1 2 2 ≥ 0 nên f ' x f 2 x − 1 2 2 = 0 ⇔ f ' x f 2 x = 1 2
⇒ ∫ f ' x f 2 x d x = x 2 + C ⇒ − 1 f x = x 2 + C .
Với x = 4 , ta có
− 1 f 4 = 2 + C ⇔ − 4 = 2 + C ⇔ C = − 6.
Do đó: f x = − 1 x 2 − 6 = 2 12 − x . Do đó f 6 = 2 12 − 6 = 2 6 = 1 3 .
Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3] thoả mãn f(0)=2,f(3)=8 và ∫ 0 3 ( f ' ( x ) ) 2 f ( x ) d x = 8 3 . Tính f(2).
A. 50/9.
B. 49/9.
C. 47/9.
D. 52/9
Cho các mệnh đề :
1) Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì nó liến tục tại x 0 .
2) Hàm số y=f(x) liên tục tại x 0 thì nó có đạo hàm tại điểm x 0 .
3) Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).
4) Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a;b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Số mệnh đề đúng là:
A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3] thoả mãn f(0)=3, f(3)=8 và ∫ 0 3 ( f ' ( x ) ) 2 f ( x ) + 1 d x = 4 3 Giá trị của f(2) bằng
A. 64 9
B. 55 9
C. 16 3
D. 19 3
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;π/4] thỏa mãn f(0)=0, ∫ 0 π 4 f ' x 2 d x = 2 và ∫ 0 π 4 sin 2 x f ( x ) d x = 1 2 Tích phân ∫ 0 π 4 f x d x bằng
A. -1/2
B. 1/2
C. -1/4
D. 1/4
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0 ; 2 ] và thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , ∫ 0 2 ( 2 x - 4 ) . f ' ( x ) d x = 4 . Tính tích phân I = ∫ 0 2 f ( x ) d x .
A. I = 2
B. I = - 2
C. I = 6
D. I = - 6
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=-1, f(4)=-8 và x 3 ( f ' ( x ) ) 2 - f ( x ) = 9 x 3 - x - 3 x , ∀ x ∈ [ 1 ; 4 ] . Tích phân ∫ 1 4 f ( x ) d x bằng
A. -7
B. - 89 6
C. - 79 6
D. -8
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn f ' ( 0 ) = 9 và 9 f ' ' ( x ) + [ f ' ( x ) - x ] 2 = 9 . Tính
A. T = 2 + 9 ln 2
B. T=9
C. T = 1 2 + 9 ln 2
D. T = 2 - 9 ln 2
Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3] thoả mãn f(0)=3, f(3)=8 và ∫ 0 3 f ' x 2 f x + 1 d x = 4 3 Giá trị của f(2) bằng
A. 64 9
B. 55 9
C. 16 3
D. 19 3
Có
Do đó
Vì vậy dấu bằng phải xảy ra tức
Vì
Chọn đáp án B.